코딩테스트/[알고리즘] 알고리즘 정리
최단 경로 알고리즘 (다익스트라, 벨만-포드, 플로이드-워셜)
쵼쥬
2021. 10. 1. 14:28
최단 경로 알고리즘
가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘
- 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
- 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
- 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
단일 출발 최단 경로 : 어떤 하나의 지점에서 나머지 모든 지점으로 경로
단일 도착 최단 경로 : 모든 지점에서 어떤 하나의 지점으로 경로 (간선을 뒤집으면 단일 출발 최단 경로 문제와 같음)
단일쌍 최단 경로 : 모든 지점 쌍들 사이의 최단 경로
BFS
가중치가 없거나 모든 가중치가 동일한 그래프에서 사용
다익스트라
음이 아닌 가중 그래프에서 단일 쌍, 단일 출발, 단일 도착 에서 사용
벨만-포드
가중 그래프에서 단일 쌍, 단일 출발, 단일 도착에서 사용
플로이드-워셜
전체 쌍 최단 경로에서 사용
다익스트라 최단 경로 알고리즘
- 특정 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산
- 음의 간선이 없을 경우 동작
- 그리디 알고리즘이다.-> 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 반복
- 출발 노드 설정
- 최단 거리 테이블 초기화
- 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드 선택
- 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블 생성
- 3, 4 번 반복
단계를 거치며 한번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 바뀌지 않음
간단한 다익스트라 코드
import java.util.*;
class Node {
private int index;
private int distance;
public Node(int index, int distance) {
this.index = index;
this.distance = distance;
}
public int getIndex() {
return this.index;
}
public int getDistance() {
return this.distance;
}
}
public class Main {
public static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
// 노드의 개수(N), 간선의 개수(M), 시작 노드 번호(Start)
// 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
public static int n, m, start;
// 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 배열
public static ArrayList<ArrayList<Node>> graph = new ArrayList<ArrayList<Node>>();
// 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 배열 만들기
public static boolean[] visited = new boolean[100001];
// 최단 거리 테이블 만들기
public static int[] d = new int[100001];
// 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
public static int getSmallestNode() {
int min_value = INF;
int index = 0; // 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (d[i] < min_value && !visited[i]) {
min_value = d[i];
index = i;
}
}
return index;
}
public static void dijkstra(int start) {
// 시작 노드에 대해서 초기화
d[start] = 0;
visited[start] = true;
for (int j = 0; j < graph.get(start).size(); j++) {
d[graph.get(start).get(j).getIndex()] = graph.get(start).get(j).getDistance();
}
// 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
// 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
int now = getSmallestNode();
visited[now] = true;
// 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
for (int j = 0; j < graph.get(now).size(); j++) {
int cost = d[now] + graph.get(now).get(j).getDistance();
// 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if (cost < d[graph.get(now).get(j).getIndex()]) {
d[graph.get(now).get(j).getIndex()] = cost;
}
}
}
}
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
m = sc.nextInt();
start = sc.nextInt();
// 그래프 초기화
for (int i = 0; i <= n; i++) {
graph.add(new ArrayList<Node>());
}
// 모든 간선 정보를 입력받기
for (int i = 0; i < m; i++) {
int a = sc.nextInt();
int b = sc.nextInt();
int c = sc.nextInt();
// a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph.get(a).add(new Node(b, c));
}
// 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
Arrays.fill(d, INF);
// 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start);
// 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if (d[i] == INF) {
System.out.println("INFINITY");
}
// 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else {
System.out.println(d[i]);
}
}
}
}
우선순위 큐 사용한 다익스트라 코드
import java.util.*;
class Node implements Comparable<Node> {
private int index;
private int distance;
public Node(int index, int distance) {
this.index = index;
this.distance = distance;
}
public int getIndex() {
return this.index;
}
public int getDistance() {
return this.distance;
}
// 거리(비용)가 짧은 것이 높은 우선순위를 가지도록 설정
@Override
public int compareTo(Node other) {
if (this.distance < other.distance) {
return -1;
}
return 1;
}
}
public class Main {
public static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
// 노드의 개수(N), 간선의 개수(M), 시작 노드 번호(Start)
// 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
public static int n, m, start;
// 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 배열
public static ArrayList<ArrayList<Node>> graph = new ArrayList<ArrayList<Node>>();
// 최단 거리 테이블 만들기
public static int[] d = new int[100001];
public static void dijkstra(int start) {
PriorityQueue<Node> pq = new PriorityQueue<>();
// 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
pq.offer(new Node(start, 0));
d[start] = 0;
while(!pq.isEmpty()) { // 큐가 비어있지 않다면
// 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
Node node = pq.poll();
int dist = node.getDistance(); // 현재 노드까지의 비용
int now = node.getIndex(); // 현재 노드
// 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if (d[now] < dist) continue;
// 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for (int i = 0; i < graph.get(now).size(); i++) {
int cost = d[now] + graph.get(now).get(i).getDistance();
// 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if (cost < d[graph.get(now).get(i).getIndex()]) {
d[graph.get(now).get(i).getIndex()] = cost;
pq.offer(new Node(graph.get(now).get(i).getIndex(), cost));
}
}
}
}
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
m = sc.nextInt();
start = sc.nextInt();
// 그래프 초기화
for (int i = 0; i <= n; i++) {
graph.add(new ArrayList<Node>());
}
// 모든 간선 정보를 입력받기
for (int i = 0; i < m; i++) {
int a = sc.nextInt();
int b = sc.nextInt();
int c = sc.nextInt();
// a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph.get(a).add(new Node(b, c));
}
// 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
Arrays.fill(d, INF);
// 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start);
// 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if (d[i] == INF) {
System.out.println("INFINITY");
}
// 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else {
System.out.println(d[i]);
}
}
}
}벨만-포드
- 다익스트라의 한계 (가중치가 음이면 안되는 것)을 극복가능
- 다익스스트라는 그리디 관점이지만 벨만-포드는 DP관점
- 매번 모든 간선을 전부 확인하기 때문에 다익스트라보다는 느림
// #11657 graph 타임머신 (벨만포드)
import java.io.*;
import java.util.StringTokenizer;
class Bus{
int u;
int v;
int val;
public Bus(int u,int v, int val) {
this.u = u;
this.v = v;
this.val = val;
}
}
public class TimeMachine {
static int n,m;
static Bus[] e;
static long[] dist;
static int INF = Integer.MAX_VALUE;
public static void main(String[] args) throws IOException {
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
n = Integer.parseInt(st.nextToken());
m = Integer.parseInt(st.nextToken());
e = new Bus[m];
// 1. 출발 노드 설정
for(int i=0; i<m; i++) {
st = new StringTokenizer(br.readLine());
int u = Integer.parseInt(st.nextToken());
int v = Integer.parseInt(st.nextToken());
int val = Integer.parseInt(st.nextToken());
e[i] = new Bus(u,v,val);
}
// 2. 최단거리 테이블 초기화
dist = new long[n+1];
for(int i=1; i<n+1; i++) {
dist[i] = INF;
}
// 벨만포드 알고리즘 실행 (true: 음수 순환 존재, false: 음수 순환 존재x)
if(bellmanford(1)) { // 음수 순환 존재하면 -1 출력
System.out.println(-1);
}
else {
// 1번 노드를 제외한 다른 모든 노드로 가기 위한 최단거리 출력
for(int i=2; i<n+1; i++) {
if(dist[i] == INF) {// 도달할 수 없으면 -1
System.out.println("-1");
}
else { // 최단 거리 출력
System.out.println(dist[i]);
}
}
}
}
static boolean bellmanford(int start){
dist[start] = 0;
// n번 반복 (음수 간선 순환 체크안하려면 n-1번 반복)
for(int i=0; i<n; i++) {
// 매 반복마다 모든 간선을 확인
for(int j=0; j<m; j++) {
int cur = e[j].u;
int next = e[j].v;
int cost = e[j].val;
if(dist[e[j].u] == INF)
continue;
// 현재 간선을 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 짧은 경우
if(dist[next] > (dist[cur] + cost)) {
dist[next] = dist[cur] + cost;
// n번째 라운드에서 값이 갱신된다면 음수 순환 존재
if (i == n-1) {
return true;
}
}
}
}
return false;
}
}
플로이드-워셜
- 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단경로 계산
- 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐가는 노드를 기준으로 알고리즘 수행 (매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정 필요하지 않음)
- 2차원 테이블에 최단 거리 저장
- 다이나믹 프로그래밍(DP)이다.
플로이드-워셜 문제는 노드의 개수가 500인 경우가 많다. 1000이 넘어가면 시간이 초과됨
- 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐가는 경우를 확인한다.
- a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사
플로이드-워셜 코드
import java.util.*;
public class Main {
public static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
// 노드의 개수(N), 간선의 개수(M)
// 노드의 개수는 최대 500개라고 가정
public static int n, m;
// 2차원 배열(그래프 표현)를 만들기
public static int[][] graph = new int[501][501];
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
m = sc.nextInt();
// 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
for (int i = 0; i < 501; i++) {
Arrays.fill(graph[i], INF);
}
// 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for (int a = 1; a <= n; a++) {
for (int b = 1; b <= n; b++) {
if (a == b) graph[a][b] = 0;
}
}
// 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for (int i = 0; i < m; i++) {
// A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
int a = sc.nextInt();
int b = sc.nextInt();
int c = sc.nextInt();
graph[a][b] = c;
}
// 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for (int k = 1; k <= n; k++) {
for (int a = 1; a <= n; a++) {
for (int b = 1; b <= n; b++) {
graph[a][b] = Math.min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b]);
}
}
}
// 수행된 결과를 출력
for (int a = 1; a <= n; a++) {
for (int b = 1; b <= n; b++) {
// 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if (graph[a][b] == INF) {
System.out.print("INFINITY ");
}
// 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else {
System.out.print(graph[a][b] + " ");
}
}
System.out.println();
}
}
}
이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬
https://www.youtube.com/watch?v=Mf0pYO8VAZk&list=PLVsNizTWUw7H9_of5YCB0FmsSc-K44y81